已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直.求非零向量a与b的夹角.
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已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直.求非零向量a与b的夹角.
题型:不详
难度:
来源:
已知非零向量
a
与
b
满足
a
+3
b
与
7
a
-5
b
互相垂直,
a
-4
b
与
7
a
-2
b
互相垂直.求非零向量
a
与
b
的夹角.
答案
设非零向量
a
与
b
夹角为θ,则
cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
,(3分)
由已知条件得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
,(5分)
即
7
a
2
+16
a
•
b
-15
b
2
=0(1)
7
a
2
-30
a
•
b
+ 8
b
2
=0(2)
,(7分)
(2)-(1)得
23
b
2
-46
a
•
b
=0
,即
b
2
=2
a
•
b
,(9分)
代入(1)可得
b
2
=
a
2
,即
|
b
|=|
a
|
,
所以
cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|
2
=
1
2
,而θ∈[0,π],则有
θ=
π
3
.(12分)
举一反三
已知|
a
|=1,|
b
|=6,
a
•(
b
-
a
)=2,则向量
a
与
b
的夹角为______.
题型:不详
难度:
|
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平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x∈[
-
π
4
,
π
4
];
(1)求向量
OP
和
OQ
的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);
(2)求cosθ的最值.
题型:不详
难度:
|
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已知|
a
|=10,|
b
|=12,
a
与
b
的夹角为120°.求:
(1)
a
•
b
;
(2)(3
b
-2
a
)•(4
a
+
b
).
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
,
b
满足|
a
|=1,|
a
+
b
|=
7
,且
a
,
b
的夹角为
π
3
,则|
b
|=______.
题型:不详
难度:
|
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设非零向量
a
、
b
、
c
满足|
a
|=|
b
|=|
c
|,
a
+
b
=
c
,则<
a
,
b
>=______.
题型:不详
难度:
|
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