已知向量a，b，满足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k＞0，（1）用k表示a•b，并求a与b的夹角θ的最大值；（2）如果a∥b，求实数k的

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已知向量a，b，满足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k＞0，（1）用k表示a•b，并求a与b的夹角θ的最大值；（2）如果a∥b，求实数k的

题型：不详难度：来源：
已知向量


a
，


b
，满足|


a
|=1，|


b
|=1，|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|，k＞0，
（1）用k表示


a
•


b
，并求


a
与


b
的夹角θ的最大值；
（2）如果


a
∥


b
，求实数k的值．
答案
（1）|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|⇒(k


a
+


b
)2=3(


a
-k


b
)2
即∴k2


a
2+2k


a
•


b
+


b
2=3


a
2-6k


a
•


b
+3k2


b
2⇒


a
•


b
=
k2+1
4k
．
∵


a
•


b
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
2
，．
此时cosθ=


a
•


b
|


a
||


b
|
=


a
•


b
≥
1
2
⇒θmax=60°．
（2）∵


a
∥


b
，∴


a
与


b
夹角为0°或180°


a
•


b
=|


a
||


b
|cosθ=±1⇒|
k2+1
4k
|=1
又∵k＞0，∴k2+1=4k⇒k=2±


3
．
举一反三
已知向量


a
，


b
满足|


a
|=8，|


b
|=6，


a
•


b
=24，则


a
与


b
的夹角为（　　）
A．30°B．60°C．90°D．120°
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设向量


a
=(1，2)，


b
=(-3，1)，则


a
与


b
的夹角是（　　）
A．π-arccos(-


2
10
)		B．arccos(-


2
10
)
C．
π
2
+arccos


2
10
D．
3π
2
-arccos


2
10
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已知向量


a
，


b
，


c
满足|


a|
=2，|


b
|=|


a
-


b
|，


a
与


b
的夹角为
π
6
，(


a
-


c
)•(


b
-


c
)=0．若对每一个确定的


b
，|


c
|的最大值和最小值分别为m，n，则对任何的


b
，m-n的最小值是（　　）
A．
1
4
B．
1
2
C．2D．1
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已知


a
=(0，3)，


b
=(-4， 4)，则向量


a
与


b
的夹角为（　　）
A．
π
3
B．
π
4
C．
2π
3
D．
3π
4
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已知非零向量


a
，


b
满足|


a
|=1，且（


a
-


b
）•（


a
+


b
）=
3
4
．
（1）求|


b
|；            
（2）当


a
•


b
=-
1
4
时，求向量


a
与


a
+2


b
的夹角θ的值．
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