已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x2+y2-12x+32=0．（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是

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已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x²+y²-12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得

OA

+

OB

与

PQ

共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）将圆的方程化简，得：（x-6）²+y²=4，圆心Q（6，0），半径r=2．
设直线l的方程为：y=kx+2，故圆心到直线l的距离d=

|6k-0+2|

1+k2

=

|6k+2|

1+k2

．
因为直线l和圆相切，故d=r，即

|6k+2|

1+k2

=2，解得k=0或k=-

3

4

．
所以，直线l的方程为y=2或3x+4y-8=0．
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，消y得：（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
因为直线l和圆相交，故△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-

3

4

＜k＜0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有：x₁+x₂=-

4(k-3)

1+k2

；x₁x₂=

36

1+k2

而y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

PQ

=（6，-2）．
因为

OA

+

OB

与

PQ

共线，所以-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂）．
即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，代入得（1+3k）[-

4(k-3)

1+k2

]+12=0，解得k=-

3

4

．
又因为-

3

4

＜k＜0，所以没有符合条件的常数k．