解:本题可通过建立空间坐标系求解. 如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
(1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,∴B1C1⊥CE. (2)=(1,-2,-1). 设平面B1CE的法向量m=(x,y,z), 则,即 消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1). 由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量. 于是cos〈m,〉===-,从而sin〈m,〉=, 故二面角B1-CE-C1的正弦值为. (3)=(0,1,0),=(1,1,1). 设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量. 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则 sinθ=|cos〈,〉|= ==. 于是=,解得λ= (λ=-舍去), ∴AM=. |