如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求

如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求

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如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
答案
(1)见解析   (2)   (3)M的坐标为(2,2,0),见解析
解析
解:(1)∵DE⊥平面ABCD,∴DE⊥AC,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,又DE∩BD=D,∴AC⊥平面BDE.
(2)∵DE⊥平面ABCD,∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,即∠EBD=60°.
.由AD=3,得DE=3,AF=.
如图所示,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),

=(0,-3,),=(3,0,-2).
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则
,即.
令z=,则n=(4,2,).
∵AC⊥平面BDE,
=(3,-3,0)为平面BDE的一个法向量,
∴cos〈n,〉=.
又二面角F-BE-D为锐角,故二面角F-BE-D的余弦值为.
(3)依题意,设M(t,t,0)(0≤t≤3),则=(t-3,t,0),
∴AM∥平面BEF,∴·n=0,
即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
∴点M的坐标为(2,2,0),此时
∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点.
举一反三
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(  )
A.B.-C.D.-

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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为(  )
A.B.C.2D.

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在空间直角坐标系中,若点A(1,2,﹣1),B(﹣3,﹣1,4).则|AB|=  .   
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已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k值是(  )
A.1B.C.D.

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如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=1,BC=,CD⊥AB,垂足为D.

(1)求证:BC∥平面AB1C1;
(2)求点B1到面A1CD的距离.
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