如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=1,BC=,CD⊥AB,垂足为D.(1)求证:BC∥平面AB1C1;(2)求

如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=1,BC=,CD⊥AB,垂足为D.(1)求证:BC∥平面AB1C1;(2)求

题型:不详难度:来源:
如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=1,BC=,CD⊥AB,垂足为D.

(1)求证:BC∥平面AB1C1;
(2)求点B1到面A1CD的距离.
答案
(1)见解析    (2)
解析
(1)证明:直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC∥B1C1,
又BC平面A B1C1,B1C1平面A B1C1,∴B1C1∥平面A B1C1
(2)(解法一)∵CD⊥AB且平面ABB1A1⊥平面AB C, 
∴CD⊥平面ABB1A1,∴CD⊥AD且CD⊥A1D ,
∴∠A1DA是二面角A1—CD—A的平面角,
在Rt△ABC,AC=1,BC=,
∴AB=,又CD⊥AB,∴AC2=AD×AB
∴AD=,AA1=1,∴∠DA1B1=∠A1DA=60°,∠A1B1A=30°,∴AB1⊥A1D
又CD⊥A1D,∴AB1⊥平面A1CD,设A1D∩AB1=P,∴B1P为所求点B1到面A1CD的距离.
B1P=A1B1cos∠A1B1A= cos30°=.
即点到面的距离为
(2)(解法二)由VB1-A1CD=VC-A1B1D=××=,而cos∠A1CD=×=,
SA1CD=×××=,设B1到平面A1CD距离为h,则×h=,得h=为所求.
(3)(解法三)分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图)则A(1,0,0),A1(1,0,1),
C(0,0,0),C1(0,0,1),
B(0,,0),B1(0,,1),

∴D(,0)=(0,,1),设平面A1CD的法向量=(x,y,z),则
,取=(1,-,-1)
到面的距离为d= 
举一反三
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为(  )
A.B.C.D.

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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2,M为AD的中点.

(1)证明:MF⊥BD;
(2)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
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如图1,直角梯形中,分别为边上的点,且.将四边形沿折起成如图2的位置,使
(1)求证:平面
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.

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在空间直角坐标系中,若两点间的距离为10,则__________.
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.已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点B的坐标为            ;AB的长为           .
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