如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.当时,证明:直线平面;是否存在,使平面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在
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如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.当时,证明:直线平面;是否存在,使平面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在
题型:不详
难度:
来源:
如图,在棱长为2的正方体
中,
分别是棱
的中点,点
分别在棱
,
上移动,且
.
当
时,证明:直线
平面
;
是否存在
,使平面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)详见解析;(2)
解析
试题分析:(1)由正方体
的性质得
,当
时,证明
,由平行于同一条直线的两条直线平行得
,根据线面平行的判定定理证明
平面
;(2)解法1,如图2,连结
,证明四边形
与四边形
是等腰梯形,分别取
、
、
的中点为
、
、
,连结
、
,证明
是平面
与平面
所成的二面角的平面角,设存在
,使平面
与平面
所成的二面角为直二面角,求出
的值;解法2,以
为原点,射线
分别为
轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系
,用向量法求解.
几何法:
(1)证明:如图1,连结
,由
是正方体,知
,
当
时,
是
的中点,又
是
的中点,所以
,
所以
,
而
平面
,且
平面
,
故
平面
.
(2)如图2,连结
,因为
、
分别是
、
的中点,
所以
,且
,又
,
,
所以四边形
是平行四边形,
故
,且
,
从而
,且
,
在
和
中,因为
,
,
于是,
,所以四边形
是等腰梯形,
同理可证四边形
是等腰梯形,
分别取
、
、
的中点为
、
、
,连结
、
,
则
,
,而
,
故
是平面
与平面
所成的二面角的平面角,
若存在
,使平面
与平面
所成的二面角为直二面角,则
,
连结
、
,则由
,且
,知四边形
是平行四边形,
连结
,因为
、
是
、
的中点,所以
,
在
中,
,
,
,
由
得
,解得
,
故存在
,使平面
与平面
所成的二面角为直二面角.
向量法:
以
为原点,射线
分别为
轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系
,
由已知得
,
所以
,
,
,
(1)证明:当
时,
,因为
,
所以
,即
,
而
平面
,且
平面
,
故直线
平面
.
(2)设平面
的一个法向量
,
由
可得
,于是取
,
同理可得平面
的一个法向量为
,
若存在
,使平面
与平面
所成的二面角为直二面角,
则
,
即
,解得
,
故存在
,使平面
与平面
所成的二面角为直二面角.
举一反三
如图6,四棱柱
的所有棱长都相等,
,四边形
和四边形
为矩形.
(1)证明:
底面
;
(2)若
,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,
和
所在平面互相垂直,且
,
,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BCA=90°,M,N分别是A
1
B
1
,A
1
C
1
的中点,BC=CA=CC
1
,
则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=
,求三棱锥E-ACD的体积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥
中,
,
,
,
,点
为棱
的中点.
(1)证明:
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)若
为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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