如图,在四棱锥中,,,,,点为棱的中点. (1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
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如图,在四棱锥中,,,,,点为棱的中点. (1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥
中,
,
,
,
,点
为棱
的中点.
(1)证明:
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)若
为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值.
答案
(1)详见试题分析;(2)直线
与平面
所成角的正弦值为
;(3)
.
解析
试题分析:(1)可以建立空间直角坐标系,利用向量数量积来证明
。也可以利用综合法:要证
,由于
是异面直线,可将问题转化为证明线面垂直。由于点
为棱
的中点,可以先取
中点
,连结
,从而可证得
。由线面垂直的判定定理易证
平面
,从而
,最后证得
;(2)向量法:先求平面
的法向量
,然后利用公式
求直线
与平面
所成角的正弦值.综合法:在(1)的基础上,可先证明
为直线
与平面
所成的角,在直角三角形
中,利用锐角三角函数即可求得直线
与平面
所成角的正弦值;(3)向量法:先求平面
和平面
的法向量
,再利用公式
来求二面角
的余弦值.综合法:先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角
的平面角,再利用解三角形的有关知识求其余弦值.
试题解析:(方法一)依题意,以点
为原点建立空间直角坐标系(如图),可得
,
,
,
.由
为棱
的中点,得
.
(1)向量
,
,故
. ∴
.
(2)向量
,
.设
为平面
的法向量,则
即
不妨令
,可得
为平面
的一个法向量.于是有
,∴直线
与平面
所成角的正弦值为
.
(3)向量
,
,
,
.由点
在棱
上,设
,
,故
,由
,得
,因此,
,解得
,即
.设
为平面
的法向量,则
即
不妨令
,可得
为平面
的一个法向量.取平面
的法向量
,则
.易知,二面角
是锐角,∴其余弦值为
.
(方法二)(1)如图,取
中点
,连结
,
.由于
分别为
的中点,故
,且
,又由已知,可得
且
,故四边形
为平行四边形,∴
.
∵
,故
,而
,从而
,∵
平面
,于是
,又
,∴
.
(2)连结
,由(1)有
,得
,而
,故
.又∵
,
为
的中点,故
,可得
,∴
,故
.∴直线
在平面
内的射影为直线
,而
,可得
为锐角,故
为直线
与平面
所成的角.依题意,有
,而
为
中点,可得
,进而
.故在直角三角形
中,
,因此
,∴直线
与平面
所成角的正弦值为
.
(3)如图,在
中,过点
作
交
于点
.∵
,故
,从而
.又
,得
,因此
.在底面
内,
可得
,从而
.在平面
内,作
交
于点
,于是
.由于
,故
,∴
四点共面.由
,
,得
,故
,∴
为二面角
的平面角.在
中,
,
,
,由余弦定理可得
,
.∴二面角
的斜率值为
.
举一反三
如图,在四棱锥
中,平面
平面
.
(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的大小
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四棱锥
中,底面是以
为中心的菱形,
底面
,
,
为
上一点,且
.
(1)求
的长;
(2)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知向量
=(2,4,5),
=(3,x,y),若
∥
,则( )
A.x=6,y=15
B.x=3,y=
C.x=3,y=15
D.x=6,y=
题型:不详
难度:
|
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已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点E为上底面A
1
C
1
的中心,若
=
+x
+y
,则x、y的值分别为( )
A.x=1,y=1
B.x=1,y=
C.x=
,y=
D.x=
,y=1
题型:不详
难度:
|
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B.(1,3,
)
C.(1,-3,
)
D.(-1,3,-
)
题型:不详
难度:
|
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