(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=, 所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO. 又AO⊥BD,BD∩CO=O, 所以AO⊥平面BCD. (2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,
则有O(0,0,0),D(0,,0), C(,0,0),B(0,-,0). 设A(x0,0,z0)(x0<0), 则=(x0,0,z0),=(0,,0). 平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0). 平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°, 所以|cos<m,n>|=|cos120°|=,得=3. 因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,). 平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,). 设二面角A-BC-D的平面角为θ, 所以cosθ=|cos<l,m>|=||=. 所以tanθ=. 所以二面角A-BC-D的正切值为. 方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=. 如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,
因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH. 又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角. 在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=. 在Rt△CHK中,HK==, 在Rt△AHK中,tan∠AKH===. 所以二面角A-BC-D的正切值为. |