正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于   .

正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于   .

题型:不详难度:来源:
正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于   .
答案
30°
解析
如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),
P(0,-,),
=(2a,0,0),=(-a,-,),
=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1),
则cos<,n>= ==,
∴<,n>=60°,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
举一反三
如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中点.

(1)求证:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.
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如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.

(1)求此正四棱锥的体积.
(2)求直线BM与侧面PAB所成角θ的正弦值.
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.

(1)求证:AE⊥平面A1BD.
(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
(3)求点B1到平面A1BD的距离.
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已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
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已知向量a=(mn),b=(pq),定义abmnpq.给出下列四个结论:①aa=0;②abba;③(ab)⊗aaaba;④(ab)2+(a·b)2=(m2q2)·(n2p2).
其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号)
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