正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于　　　.

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答案

30°

解析

如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),
P(0,-

),
则

=(2a,0,0),

=(-a,-

=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1),
则cos<

,n>=

,
∴<

,n>=60°,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.

举一反三

如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=

AB,E是SA的中点.

(1)求证:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.

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如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.

(1)求此正四棱锥的体积.
(2)求直线BM与侧面PAB所成角θ的正弦值.

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如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2,又AA₁⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC₁的中点.

(1)求证:AE⊥平面A₁BD.
(2)求二面角D-BA₁-A的余弦值.
(3)求点B₁到平面A₁BD的距离.

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已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

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已知向量a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a⊗b＝mn－pq.给出下列四个结论：①a⊗a＝0；②a⊗b＝b⊗a；③(a＋b)⊗a＝a⊗a＋b⊗a；④(a⊗b)²＋(a·b)²＝(m²＋q²)·(n²＋p²)．
其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)

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