如图,三棱柱中,△ABC是正三角形,,平面平面,.(1)证明:;(2)证明:求二面角的余弦值;(3)设点是平面内的动点,求的最小值.

如图,三棱柱中,△ABC是正三角形,,平面平面,.(1)证明:;(2)证明:求二面角的余弦值;(3)设点是平面内的动点,求的最小值.

题型:不详难度:来源:
如图,三棱柱中,△ABC是正三角形,,平面平面.

(1)证明:
(2)证明:求二面角的余弦值;
(3)设点是平面内的动点,求的最小值.
答案
(1)证明过程详见试题解析;(2);(3).
解析

试题分析:(1)如图,取的中点,连结,

因为是正三角形,所以,又因为,所以;由,那么,所以;(2)由(1)结合条件可以得到就是二面角的平面角,在直角三角形中,有,又那么在直角三角形中,可根据勾股定理求出,那么;(3)以为坐标原点建立直角平面坐标系,要使得最小,就是要找出点关于平面的对称点,求出即可.因此建立如解析中空间直角坐标系求.
试题解析:(1)证明:∵ ,△是正三角形,

,
又∵ ,∴△是正三角形,
中点,连结,则
又∵
,
又∵,
 
(2)证明:∵,由(1)知



   ∴
,∴


(3)解:延长使,连结
为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则点的坐标为的坐标是
就是的最小值,

举一反三
在直角梯形中,,如图,把沿翻折,使得平面平面

(1)求证:
(2)若点为线段中点,求点到平面的距离;
(3)在线段上是否存在点,使得与平面所成角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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如图几何体中,四边形为矩形,.

(1)若的中点,证明:
(2)求二面角的余弦值.
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如图几何体中,四边形为矩形,的中点,为线段上的一点,且.

(1)证明:
(2)证明:面
(3)求三棱锥的体积.
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如图,直角梯形中,,点分别是的中点,点上,沿将梯形翻折,使平面平面.

(1)当最小时,求证:;
(2)当时,求二面角平面角的余弦值.
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有下列四个命题:
①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

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