试题分析:(1)连结交于点,连结.由长度比例关系可知,得到.再根据线面平行的判定得到;(2)方法一:采用空间向量法,以点为坐标原点,为轴,垂直为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,设,那么点确定.再根据向量关系求出二面角的平面角的余弦值为;方法二:纯几何法,取的中点,延长交的延长线于点,根据三角形相似关系可以得到二面角的平面角为. 试题解析:(1)连结,交于点,连结, ∵,, ∴ 又 ∵, ∴ ∴ 在△BPD中, ∴∥平面
(2)方法一:以为原点,所在直线分别为轴、轴,如图建立空间直角坐标系.
设,则,,,,. 设为平面的一个法向量, 则,,∴, 解得,∴. 设为平面的一个法向量,则,, 又,,∴, 解得,∴
∴二面角的余弦值为. 方法二:在等腰Rt中,取中点,连结,则
∵面⊥面,面面=,∴平面. 在平面内,过作直线于,连结,由、, 得平面,故. ∴就是二面角的平面角. 在中,设,,, ,, 由,可知:∽, ∴, 代入解得:. 在中,, ∴,. ∴二面角的余弦值为. |