如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,,作,分别交,于点,,作,分别交,于点,,将该正方形沿,折叠,使得与重合,构成如图所示的三棱柱.(1)求证:平面;
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如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,,作,分别交,于点,,作,分别交,于点,,将该正方形沿,折叠,使得与重合,构成如图所示的三棱柱.(1)求证:平面;
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,在边长为
的正方形
中,点
在线段
上,且
,
,作
,分别交
,
于点
,
,作
,分别交
,
于点
,
,将该正方形沿
,
折叠,使得
与
重合,构成如图所示的三棱柱
.
(1)求证:
平面
;
(2)求四棱锥
的体积;
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值.
答案
(1)在正方形
中,因为
,
所以三棱柱
的底面三角形
的边
.
因为
,
,
所以
,所以
.
因为四边形
为正方形,
,
所以
,而
,
所以
平面
.----------- 4分
(2)因为
平面
,所以
为四棱锥
的高.
因为四边形
为直角梯形,且
,
,
所
以梯形
的面积为
.
所以四棱锥
的体积
.-----------8分
(3)由(1)(2)可知,
,
,
两两互相垂直.以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,、
则
,
,
,
,
,
所以
,
,
设平面
的一个法向量为
.
则
,即
.
令
,则
.所以
.
显然平面
的一个法向量为
.
设平面
与平面
所成锐二面角为
,
则
.
所以平面
与平面
所成角的余弦值为
.
解析
略
举一反三
如图:已知三棱锥
中,
面
,
,
,
为
上一点,
,
分别为
的中点.
(1)证明:
.
(2)求面
与面
所成的锐二面角的余弦值.
(3)在线段
(包括端点)上是否存在一点
,使
平面
?若存在,确定
的位置;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四棱锥
的底面是平行四边形,
平面
,
,
,
点
是
上的点,且
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求
的值,使
平面
;
(Ⅲ)当
时,求三棱锥
与四棱锥
的体积之比.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知向量
与
平行,则
=
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥
中,
底面
,
,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)证明:
平面
;
(Ⅲ)求二面角
的正切值
题型:不详
难度:
|
查看答案
设
是单位向量,且
,则
的值为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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