(1)证明 取AB的中点O,连接EO,CO,∵AE=EB=,AB=2,∴△AEB为等腰直角三角形,∴EO⊥AB,EO=1,又∵AB=BC,∠ABC=60°. ∴△ACB是等边三角形,∴CO=,又EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO. 又∵CO∩AB=O,∴EO⊥平面ABCD,又EO⊂平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD. (2)解 以AB中点O为坐标原点,分别以OC,OB,OE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),C(,0,0),D,E(0,0,1). ∴=(,0,-1),=(0,2,0),=(0,1,1). 设平面CDE的法向量n=(x,y,z), 令z=1,解得 ∴平面CDE的一个法向量n=,设直线AE与平面CDE所成角为θ. ∴sin θ===. ∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是. |