(1)证明:PB⊥底面ABCD,∴PD⊥CD, 又∵CD⊥PD,PD∩PB=P,PD,PB⊂平面PBD. ∴CD⊥平面PBD,又CD⊂平面PCD, ∴平面PCD⊥平面PBD. (2)如图,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设BC=a,BP=b,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0), D(2,2,0),P(0,0,b). ∵=(2,2,-b),=(2,2-a,0),CD⊥PD, ∴·=0,∴4+4-2a=0,a=4, 又=(2,0,-b),=(2,-2,0), 异面直线PA和CD所成角等于60°, ∴=, 即=,解得b=2, =(0,4,-2),=(0,2,0),=(2,0,-2). 设平面PAD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则由得 取n1=(1,0,1), ∵sin θ===,∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为. (3)解 假设存在,设=λ,且E(x,y,z),则(x,y,z-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ),设平面DEB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则由得 取n2=(λ-1,1-λ,λ), 又平面ABE的法向量n3=(0,1,0), 由cos θ==,得=,解得λ=或λ=2(不合题意). ∴存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点. |