试题分析:解法一利用综合法证明解题: (1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD为正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED,故有平面AEC⊥平面BED. (2)如图4-1中,设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2,则OA=,AE=2,所以OE=,EC=,所以在三角形OEC中,利用余弦定理可得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC=. 解法二利用向量法:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图4-2所示, (1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) (0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),从而有,,即BD⊥AC,BD⊥AE,所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC. (2)设平面BED的法向量为,由,得,故取 8分 而=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为,则有 . 试题解析:解法一:
(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD, 所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB, 3分 又ABCD为正方形,所以DB⊥AC, 4分 所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED 故有平面AEC⊥平面BED. 6分 (2)设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线. 过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上, 即∠OEC为EC与平面BED所成的角. 7分 设正方形边长为2,则OA=,AE=2, 所以OE=,EC=, 9分 所以在三角形OEC中, 由余弦定理得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC= 12分 解法二:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 1分
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) 2分 (0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2), 从而有,, 即BD⊥AC,BD⊥AE, 所以BD⊥平面AEC, 故平面BED⊥平面AEC. 6分 (2)设平面BED的法向量为, 由,得,故取 8分 而=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为, 则有 12分 |