(1)证明:∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点, ∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,即OB⊥OA. 取AO中点H,连接DH,BH,则OH=DH=, 在Rt△BOH中,BH2=BO2+OH2=, 在△BHD中,DH2+BH2=2+=3,又DB2=3, ∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH. 又DH⊥OA,OA∩BH=H,∴DH⊥面ABCO,而DH⊂平面AOD,∴平面AOD⊥平面ABCO. (2)解 分别以OA,OB所在直线为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,,0),A(,0,0),D,C. ∴=(-,,0),=,=. 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),
由得 即x=y,x=z,令x=1,则y=z=1,取n=(1,1,1). 设α为直线BC与平面ABD所成的角,则sin α==. 即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为. |