(1)证明:设AD=1,则DQ=,DP=2,又∵PD∥QA,∴∠PDQ=∠AQD=45°,在△DPQ中,由余弦定理可得PQ=. ∴DQ2+PQ2=DP2,∴PQ⊥DQ,又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DC,∵CD⊥DA,DA∩PD=D,∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ,∴CD⊥PQ,又∵CD∩DQ=D,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)解 如图,以D为坐标原点,DA,DP,DC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.
设AD=1,AB=m(m>0). 依题意有D(0,0,0),C(0,0,m),P(0,2,0),Q(1,1,0),B(1,0,m),则=(1,0,0),=(-1,2,-m),=(1,-1,0), 设n1=(x1,y1,z1)是平面PBC的法向量,则即 因此可取n1=(0,m,2). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBQ的法向量,则即 可取n2=(m,m,1). 又∵二面角Q-BP-C的余弦值为-,∴|cos 〈n1,n2〉|=|-|. ∴=,整理得m4+7m2-8=0. 又∵m>0,解得m=1.因此,所求的值为1 |