(1)证明:由已知 =λ,∴EF∥BC,又BC∥AD,∴EF∥AD,而EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (2)解 因为平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,∴PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB,PA⊥AD.又∵AB⊥AD, ∴PA,AB,AD两两垂直. 如图所示,建立空间直角坐标系
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005011-43499.jpg) ∵AB=BC=1,PA=AD=2, ∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),当λ= 时,F为PC中点, ∴F ,∴ = , =(-1,1,0),设异面直线BF与CD所成的角为θ,∴cos θ=|cos〈 , 〉|= = .故异面直线BF与CD所成角的余弦值为 . (3)解:设F(x0,y0,z0),则 =(x0,y0,z0-2), =(1,1,-2),又 =λ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005013-33122.png) ∴ ∴ =(λ,λ,2-2λ), 设平面AFD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005014-15746.png) 令z1=λ,得m=(2λ-2,0,λ). 设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2).则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005014-97693.png) 取y2=1,则x2=1,z2=1,∴n=(1,1,1), 由m⊥n,得m·n=(2λ-2,0,λ)·(1,1,1)=2λ-2+λ=0,解得λ= . |