(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以四边形A1ACC1是矩形.连接A1C交AC1于O,则O是A1C的中点,又D是BC的中点,所以在△ADC1中,OD∥A1B,因为A1B⊄平面ADC1,OD⊂平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1. (2)解:因为△ABC是等边三角形,D是BC的中点,所以AD⊥BC.以D为原点,建立如图所示空间坐标系D-xyz.由已知AB=BB1=2,得D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,2),C1(0,-1,2).
则=(,0,0),=(0,-1,2),设平面AC1D的法向量为n=(x,y,z),由得 取z=1,则x=0,y=2, ∴n=(0,2,1),又=(,0,2),∴cos〈,n〉==,设A1D与平面ADC1所成角为θ, 则sin θ=|cos〈,n〉|=, 故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为. |