已知在长方体中,点为棱上任意一点,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值.
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已知在长方体中,点为棱上任意一点,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
已知在长方体
中,点
为棱
上任意一点,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若点
为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角
的余弦值为
.
解析
试题分析:(Ⅰ)求证:平面
平面
,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,由长方体的性质,易证
平面
,从而可证平面
平面
;(Ⅱ)若点
为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值,求二面角问题,可用传统方法,找二面角的平面角,但本题不易找,另一种方法,用向量法,本题因为是长方体,容易建立空间坐标系,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴建立空间直角坐标系,分别设出两个平面的法向量,利用向量的运算,求出向量,即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)
为正方形
2分
平面
4分
又
,
平面
平面
平面
6分
(Ⅱ)建立以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴的空间直角坐标系 7分
设平面
的法向量为
,
9分
设平面
的法向量为
,
11分
13分
二面角
的余弦值为
14分
举一反三
如图,平面
平面
,四边形
是正方形,四边形
是矩形,且
,
是
的中点,则
与平面
所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是边长为
的菱形,
,
底面
,
,
为
的中点,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:直线
平面
;
(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的大小;
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四棱锥
的底面
是正方形,
平面
,
为
上的点,且
.
(1)证明:
;
(2)若
,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列
的前n项和为
,且
,则过点
和
的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
A.
B.(2,4)
C.
D.(-1,-1)
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为
,求AB的长.
题型:不详
难度:
|
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