如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,且,,,,点、、分别为、、的中点.(1)求证:平面;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.
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如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,且,,,,点、、分别为、、的中点.(1)求证:平面;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知三棱柱
的侧棱与底面垂直,且
,
,
,
,点
、
、
分别为
、
、
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
;
(3)求二面角
的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
.
解析
试题分析:(1)连接
,利用中位线得到
,然后再利用直线与平面平行的判定定理证明
平面
;(2)证法一是建立以点
为原点,以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法证明
;证法二:先证明
,于是得到
,于是得到
,再证明
平面
,从而得到
,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明
平面
,从而得到
;证法三是
,得到
,于是得到
,再证明
平面
,从而得到
,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明
平面
,从而得到
;(3)解法一是建立以点
为原点,以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系利用空间向量法求二面角
的余弦值;解法二是过
作
交
于点
,过
作
交
于
,连接
,先利用
平面
,于是说明
为二面角
的平面角,然后在直角
,然后在直角
中求
的值.
(1)证明:连接
,
是
的中点 ,
过点
,
为
的中点,
,
又
面
,
面
,
平面
;
(2)证法一:在直角
中,
,
,
,
棱柱
的侧棱与底面垂直,且
,以点
为原点,以
所在的直线为
轴建立如图所示空间直角坐标系如图示,则
,
,
,
,
,
,
,
,
;
证法二:连接
,在直角
中,
,
,
,
,
,
,
,
即
,
,
,且
,
平面
,
,又
,故
平面
,
平面
,
;
证法三:连接
,在直角
中,
,
,
,
设
,
,
,
,即
,
,
,且
,
平面
,
,又
,故
平面
,
平面
,
;
(3)解法一:
棱柱
的侧棱与底面垂直,且
,
以点
为原点,以
所在的直线为
轴建立如图所示空间直角坐标系,
依题意得
,
,
,
,
,
,
,
设面
的一个法向量为
,
由
,得
,令
,得
,
同理可得面
的一个法向量为
,
故二面角的平面角
的余弦值为
,
解法二:过
作
交
于点
,过
作
交
于
,连接
,
平面
底面
,
平面
,
,
平面
,
,
故
为二面角
的平面角,
在
中,
,
,
,
,
又
,故
,
.
举一反三
如图,四棱锥
中,底面
为平行四边形,
底面
(1)证明:平面
平面
;
(2)若二面角
大小为
,求
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
的底面
是平行四边形,
,
,
面
,设
为
中点,点
在线段
上且
.
(1)求证:
平面
;
(2)设二面角
的大小为
,若
,求
的长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥
中,
为
上一点,面
面
,四边形
为矩形
,
,
.
(1)已知
,且
∥面
,求
的值;
(2)求证:
面
,并求点
到面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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