(1)如图,连接BD交AC于点O ∵BC=CD,AC平分角BCD,∴AC⊥BD 以O为坐标原点,OB、OC所在直线分别为x轴、y轴, 建立空间直角坐标系O﹣xyz, 则OC=CDcos=1,而AC=4,可得AO=AC﹣OC=3. 又∵OD=CDsin=, ∴可得A(0,﹣3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(﹣,0,0) 由于PA⊥底面ABCD,可设P(0,﹣3,z) ∵F为PC边的中点,∴F(0,﹣1,),由此可得=(0,2,), ∵=(,3,﹣z),且AF⊥PB, ∴•=6﹣=0,解之得z=2(舍负) 因此,=(0,0,﹣2),可得PA的长为2; (2)由(1)知=(﹣,3,0),=(,3,0),=(0,2,), 设平面FAD的法向量为=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为=(x2,y2,z2), ∵•=0且•=0,∴,取y1=得=(3,,﹣2), 同理,由•=0且•=0,解出=(3,﹣,2), ∴向量、的夹角余弦值为cos<,>=== 因此,二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=
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