试题分析:(1)可证平面,从而可得。(2)(空间向量法)以为原点建立空间直角坐标系,如图。根据边长可得各点的坐标,从而可得各向量的坐标,根据向量垂直数量积为0可求平面的法向量,由(1)知平面,所以即为平面的法向量,先求两法向量所成角的余弦值,但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补,观察可知此二面角为钝角,所以此二面角的余弦值应为负数。(3)设为线段上一点,且,根据向量共线,可用表示出点坐标。分别求两个面的法向量,两面垂直,则两法向量也垂直,即数量积为0,从而可得的值,若所得在内说明存在点满足条件,否则说明不存在。 证明:(1)因为为正四棱柱, 所以平面,且为正方形. 1分 因为平面, 所以. 2分 因为, 所以平面. 3分 因为平面, 所以. 4分 (2)如图,以为原点建立空间直角坐标系.则
5分 所以. 设平面的法向量. 所以 .即 6分 令,则. 所以. 由(1)可知平面的法向量为. 7分 所以. 8分 因为二面角为钝二面角, 所以二面角的余弦值为. 9分 (3)设为线段上一点,且. 因为. 所以. 10分 即. 所以. 11分 设平面的法向量. 因为, 所以 .即. 12分 令,则. 所以. 13分 若平面平面,则. 即,解得. 所以当时,平面平面. 14分 |