试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由已知得 , ,所以利用线面平行的判定得 平面 ,再利用线面垂直的性质,得 ;第二问,可以利用传统几何法求二面角的平面角,也可以利用向量法求平面 和平面 的法向量,利用夹角公式列出方程,通过解方程,求出线段 的长度.. (1)证明:∵底面 和侧面 是矩形, ∴ ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014231-97775.png) 又∵![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014232-93537.png) ∴ 平面 3分 ∵ 平面 ∴ . 6分 (2)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014232-44418.jpg) 解法1:延长 , 交于 ,连结 , 则平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014233-87200.png) 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014233-78209.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014233-59209.png) 底面 是矩形, 是 的中点, ,∴连结 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014233-12688.png) 又由(1)可知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014231-23532.png) 又∵ ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014234-68499.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014234-97256.png) 底面 ,∴ ∴ 平面 9 过 作 于 ,连结 ,则 是平面 与平面 即平面 与平面 所成锐二面角的平面角,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014235-16797.png) 又 ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014235-68745.png) 又易得 , ,从而由 ,求得 . 12分 解法2:由(1)可知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014231-23532.png) 又∵ , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014234-97256.png) 底面 7分 设 为 的中点,以 为原点,以 , , 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系如图. 8分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014236-47458.jpg) 设 ,则 , , , , 设平面 的一个法向量![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014237-98126.png) ∵ ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014238-38247.png) 由 ,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106014238-47408.png) 令 ,得 9分 设平面 法向量为 ,因为 , , 由 得 令 ,得 . 10分 由平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 , 得 ,解得 . 即线段 的长度为 . 12分 |