试题分析:(1)要证明AE⊥PD,我们可能证明AE⊥面PAD,由已知易得AE⊥PA,我们只要能证明AE⊥AD即可,由于底面ABCD为菱形,故我们可以转化为证明AE⊥BC,由已知易我们不难得到结论. (2)由EH与平面PAD所成最大角的正切值为,我们分析后可得PA的值,由(1)的结论,我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD,则过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角,然后我们解三角形ASO,即可求出二面角E-AF-C的余弦值. (1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形. 因为为的中点,所以. 又,因此. 因为平面,平面,所以. 而平面,平面且, 所以平面.又平面, 所以. 5分 (2)由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,所以
, , 所以. 8分 设平面的一法向量为, 则因此 取,则, 因为,,,所以平面, 故为平面的一法向量. 又,所以. 10分 因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为. 12分. |