如图,四棱锥中,底面是平行四边形,,平面,,,是的中点.(1)求证:平面; (2)若以为坐标原点,射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算

如图,四棱锥中,底面是平行四边形,,平面,,,是的中点.(1)求证:平面; (2)若以为坐标原点,射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算

题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥中,底面是平行四边形,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)若以为坐标原点,射线分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算得是平面的法向量,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案
(1)参考解析;(2)
解析

试题分析:(1)需证明平面,转化为证明AD⊥AC,AD⊥PA.因为PA垂直平面ABCD,由题意可得AD⊥AC,AD⊥PA显然成立,即可得结论.
(2)如图建立空间直角坐标系,因为是平面的法向量,所以求出平面PAF的法向量,再根据两平面的法向量的夹角的余弦值,即可得到平面与平面所成锐二面角的余弦值,
试题解析:. (1) 证明方法一:四边形是平行四边形,平面,又
平面.
方法二:证得是平面的一个法向量,平面.
(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为
又平面法向量为,所以 
所求二面角的余弦值为.
举一反三
已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是              .

①平面平面PBC ②平面平面PAD ③平面平面PCD
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已知直线平面,直线平面,给出下列命题,其中正确的是 (   )
           ②
           ④
A.②④B.②③④C.①③D.①②③

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设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(    )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则

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设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(    )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

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在正三棱锥P­ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,下列结论:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE,其中错误的结论个数是(    )
A.0
B.1
C.2
D.3

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