如图,正方体中,已知为棱上的动点.(1)求证:;(2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.

如图,正方体中,已知为棱上的动点.(1)求证:;(2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,正方体中,已知为棱上的动点.

(1)求证:
(2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.
答案
(1)详见解析;(2)直线与平面所成角的正弦是.
解析

试题分析:(1)空间中证线线垂直,一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面?从图形可看出,可证. (2)思路一、为了求直线与平面所成角的正弦值,首先作出直线在平面内的射影. 连,连,可证得,这样便是直线与平面所成角.思路二、由于两两垂直,故可分别以轴正向,建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解.
试题解析:连,连.
(1)由,知,
, 故.
再由便得.

(2)在正中,,而,
,平面,且,
⊥面,于是,为二面角的平面角.
正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.
再由,故是直线与平面所成角.
,故直线与平面所成角的正弦是.
解二.分别以轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.
(1)易得.
,则, ,从而
,于是
(2)由题设,,则,.
是平面的一个法向量,则,即

于是可取,.易得,故若记的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.
举一反三
如图,四棱锥中,底面是平行四边形,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)若以为坐标原点,射线分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算得是平面的法向量,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是              .

①平面平面PBC ②平面平面PAD ③平面平面PCD
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已知直线平面,直线平面,给出下列命题,其中正确的是 (   )
           ②
           ④
A.②④B.②③④C.①③D.①②③

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设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(    )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则

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设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(    )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

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