试题分析:(1)由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点,中点这样信息,得到线线PD∥B1C平行,在利用PD∥平面A1BD线面平行,利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行; (2)有正三棱柱及二面角平面角的定义,找到二面角的平面角,然后再三角形中解出二面角的大小; (3)利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角,然后再三角形中解出即可. 试题解析:解法一:
(1)设与相交于点P,连接PD,则P为中点 1分 D为AC中点,PD//, 3分 又PD平面D,//平面D 4分 (2)正三棱住, 底面ABC,又BDAC,BD,就是二面角的平面角 6分 =,AD=AC=1,tan = =, 即二面角的大小是 8分 (3)由(2)作AM,M为垂足 9分 BDAC,平面平面ABC,平面平面ABC=AC BD平面,AM平面,BDAM 又BD = D,AM平面, 10分 连接MP,则就是直线与平面D所成的角 11分 =,AD=1,在RtD中,=, ,, 直线与平面D所成的角的正弦值为 13分 解法二: (1)同解法一 4分 (2)如图建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),(1,0,),B(0,,0),(0,,)=(1,,),=(1,0,) 5分 设平面的法向量为n=(x,y,z) 则n n,则有,得n=(,0,1) 6分 由题意,知=(0,0,)是平面ABD的一个法向量. 设n与所成角为,则, 7分 又,,即二面角的大小是 8分 (3)由已知得=(1,,), n=(,0,1) 9分 则 12分 直线与平面D所成的角的正弦值为 13分 |