在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且=.
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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且=.
题型:不详
难度:
来源:
在四棱锥
P
-
ABCD
中,
PA
⊥平面
ABCD
,△
ABC
是正三角形,
AC
与
BD
的交点
M
恰好是
AC
的中点,又∠
CAD
=30°,
PA
=
AB
=4,点
N
在线段
PB
上,且
=
.
(1)求证:
BD
⊥
PC
;
(2)求证:
MN
∥平面
PDC
;
(3)设平面
PAB
∩平面
PCD
=
l
,试问直线
l
是否与直线
CD
平行,请说明理由.
答案
(1)见解析(2)见解析(3)不平行
解析
(1)因为△
ABC
是正三角形,
M
是
AC
的中点,
所以
BM
⊥
AC
,即
BD
⊥
AC
.
又因为
PA
⊥平面
ABCD
,
BD
⊂平面
ABCD
,所以
PA
⊥
BD
.
又
PA
∩
AC
=
A
,所以
BD
⊥平面
PAC
,
又
PC
⊂平面
PAC
,所以
BD
⊥
PC
.
(2)在正三角形
ABC
中,
BM
=2
,
在△
ACD
中,因为
M
为
AC
的中点,
DM
⊥
AC
,所以
AD
=
CD
,∠
CDA
=120°,所以
DM
=
,所以
BM
∶
MD
=3∶1,
所以
BN
∶
NP
=
BM
∶
MD
,所以
MN
∥
PD
,
又
MN
⊄平面
PDC
,
PD
⊂平面
PDC
,所以
MN
∥平面
PDC
.
(3)假设直线
l
∥
CD
,因为
l
⊂平面
PAB
,
CD
⊄平面
PAB
,所以
CD
∥平面
PAB
.
又
CD
⊂平面
ABCD
,平面
PAB
∩平面
ABCD
=
AB
,
所以
CD
∥
AB
.
又知
CD
与
AB
不平行,
所以直线
l
与直线
CD
不平行.
举一反三
如图,在几何体
ABCDE
中,
AB
=
AD
=2,
AB
⊥
AD
,
AE
⊥平面
ABD
,
M
为线段
BD
的中点,
MC
∥
AE
,且
AE
=
MC
=
.
(1)求证:平面
BCD
⊥平面
CDE
;
(2)若
N
为线段
DE
的中点,求证:平面
AMN
∥平面
BEC
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A
1
C
1
的中点,则EF与侧棱C
1
C所成的角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.2
题型:不详
难度:
|
查看答案
直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA
1
=2
,E,F分别是BC,AA
1
的中点.
求(1)异面直线EF和A
1
B所成的角.
(2)三棱锥A-EFC的体积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别为棱AA
1
,CC
1
的中点,则在空间中与三条直线A
1
D
1
,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
题型:不详
难度:
|
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