直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC,AA1的中点.求(1)异面直线EF和A1B所

题型：不详难度：来源：

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA₁=2,E,F分别是BC,AA₁的中点.

求(1)异面直线EF和A₁B所成的角.
(2)三棱锥A-EFC的体积.

答案

(1) 30°   (2)

解析

(1)取AB的中点D,连DE,DF,则DF∥A₁B,
∴∠DFE(或其补角)即为所求.
由题意易知,DF=,DE=1,AE=,
由DE⊥AB,DE⊥AA₁得DE⊥平面ABB₁A₁,
∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,
∴tan∠DFE===,∴∠DFE=30°,
即异面直线EF和A₁B所成的角为30°.
(2)V_A-EFC=V_F-AEC=·S_△AEC·FA=××××=.