如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面底面,且为等腰直角三角形,,、分别为、的中点.(1)求证://平面 ;(2)若线段中点为,求二面角的余弦值.
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如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面底面,且为等腰直角三角形,,、分别为、的中点.(1)求证://平面 ;(2)若线段中点为,求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥
中,底面
是边长为2的正方形,侧面
底面
,且
为等腰直角三角形,
,
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:
//平面
;
(2)若线段
中点为
,求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明见解析(2)
解析
试题分析:(1)要证
//平面
,可证明
与平面
内的一条直线平行,边结
由中位线定理得这条直线就是
.(2)以
中点为原点建立空间直角坐标系, 由侧面
底面
可得
为平面
的法向量,写出各点坐标与平面
内两条直线
所在直线的方向向量
从而可求出平面
的法向量
,求二面角的余弦值可用向量法.
试题解析:(1)证明:连接
,
因为
是正方形,
为
的中点,所以
过点
,且
也是
的中点,
因为
是
的中点,所以
中,
是中位线,所以
,
因为
平面
,
平面
,所以
平面
,
(2)取
的中点
,建如图坐标系,则相应点的坐标分别为
所以
因为侧面
底面
,
为平面
的法向量,
设
为平面
的法向量,
则由
∴
∴
设二面角
的大小
,则
为锐角,
则
.
即二面角
的余弦值为
.
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面
底面
,且△PAD为等腰直角三角形,
,E、F分别为PC、BD的中点.
(1)求证:EF//平面PAD;
(2)求证:平面
平面
.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥
,
面
,
∥
,
,
,
,
,
为
上一点,
是平面
与
的交点.
(1)求证:
∥
;
(2)求证:
面
;
(3)求
与面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
平面
,直线
平面
,给出下列命题,其中正确的是( )
①
②
③
④
A.①③
B.②③④
C.②④
D.①②③
题型:不详
难度:
|
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三棱锥
中,
分别是
的中点,则四边形
是( )
A.菱形
B.矩形
C.梯形
D.正方形
题型:不详
难度:
|
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设
是一条直线,
,
,
是不同的平面,则下列说法不正确的是( )
A.如果
,那么
内一定存在直线平行于
B.如果
不垂直于
,那么
内一定不存在直线垂直于
C.如果
,
,
,那么
D.如果
,
与
,
都相交,那么
与
,
所成的角互余
题型:不详
难度:
|
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