如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)棱上是否存在一点,使直线与平面所成的角是?若存在,求的长;若不存
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如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)棱上是否存在一点,使直线与平面所成的角是?若存在,求的长;若不存
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,
,
,且
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)棱
上是否存在一点
,使直线
与平面
所成的角是
?若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
;(Ⅲ)存在,
解析
试题分析:(Ⅰ)先证
平面
可得
。同理可证
,最后根据线面垂直的判定定理可得
平面
。(Ⅱ)可建系用空间向量法,先求边长得点的坐标即可得向量的坐标。先求面
和面
的法向量,再求两个法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与二面角相等或互补。需观察图像的二面角的余弦值。(Ⅲ)假设棱
上存在点
满足条件。设
。在(Ⅱ)以求出面
的法向量,根据线面角的定义可知直线
与平面
所成的角正弦值等于
与面
的法向量所成角的余弦值的绝对值。列式求
,若
则说明假设成立,否则假设不成立。
试题解析:(Ⅰ)证明:在正方形
中,
.
因为
,
,
所以
平面
. 1分
因为
平面
,
所以
. 2分
同理,
.
因为
,
所以
平面
. 3分
(Ⅱ)解:连接
,由(Ⅰ)知
平面
.
因为
平面
,
所以
. 4分
因为
,
,
所以
.
分别以
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意可得:
,
,
,
.
所以
,
,
,
.
设平面
的一个法向量
,
则
即
令
,得
.
所以
.
同理可求:平面
的一个法向量
. 6分
所以
.
所以二面角
的余弦值为
. 8分
(Ⅲ)存在.理由如下:
若棱
上存在点
满足条件,设
,
.
所以
. 9分
因为平面
的一个法向量为
.
所以
.
令
解得:
.
经检验
.
所以棱
上存在点
,使直线
与平面
所成的角是
,此时
的长为
. 11分
举一反三
设、
、
表示不同的直线,
,
,
表示不同的平面,则下列四个命题正确的是
.
①若
∥
,且
,则
;②若
∥
,且
∥
,则
∥
;③若
,则
∥
∥
;④若
,且
∥
,则
∥
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知在四棱锥
中, 底面四边形
是直角梯形,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)求直线
与底面
所成角的正切值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,矩形
中,
,
,
,且
,
交于点
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求三棱锥
的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体
中,
(1)求证:
;
(2)求直线
与直线BD所成的角
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知直线
,
和平面
且
,给出下列四个命题:
①
②
③
④
其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)
题型:不详
难度:
|
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