如图,已知、、为不在同一直线上的三点,且,.(1)求证:平面//平面;(2)若平面,且,,,求证:平面;(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
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如图,已知、、为不在同一直线上的三点,且,.(1)求证:平面//平面;(2)若平面,且,,,求证:平面;(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知
、
、
为不在同一直线上的三点,且
,
.
(1)求证:平面
//平面
;
(2)若
平面
,且
,
,
,求证:
平面
;
(3)在(2)的条件下,求二面角
的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)详见解析:(3)
.
解析
试题分析:(1)通过证明平行四边形分别证明
和
,利用直线与平面平行的判定定理得到
平面
和
平面
,最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面
平面
;(2)证法1是先证明
平面
,于是得到
,由
再由四边形
为正方形得到
,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明
平面
;证法2是建立以以点
为原点,分别以
、
、
所在的直线为
、
、
轴的空间直角坐标系,利用空间向量法来证明
平面
;(3)在(2)的基础上利用空间向量法求出二面角
的余弦值.
试题解析:(1)证明:
且
,
四边形
是平行四边形,
,
面
,
面
平面
,
同理可得
平面
,又
,
平面
平面
;
(2)证法1:
平面
,
平面
,
平面
平面
,
平面
平面
,
,
,
,
,
,
平面
,
,
,
,
又
,
得
为正方形,
,
又
,
平面
;
证法2:
,
,
,
,
,
平面
,
,
平面
,
以点
为原点,分别以
、
、
所在的直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系如图示,由已知可
、
、
、
、
、
,
则
,
,
,
,
,
,
,
又
,
平面
.
(3)由(2)得
,
,
设平面
的法向量
,则由
,
得
,
令
得
,
由(2)知
是平面
的法向量,
,
即二面角
的余弦值为
.
(其它解法请参照给分)
举一反三
如图,已知
、
、
为不在同一直线上的三点,且
,
.
(1)求证:平面
//平面
;
(2)若
平面
,且
,
,
,求证:
平面
;
(3)在(2)的条件下,设点
为
上的动点,求当
取得最小值时
的长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱柱
中,四边形
为菱形,
,四边形
为矩形,若
,
,
.
(1)求证:
面
;
(2)求二面角
的余弦值;
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱锥
中,点
分别是棱
的中点.
(1)求证:
//平面
;
(2)若平面
平面
,
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四边形
是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分别为
,
,
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱锥
中,平面
平面
,
,
.设
,
分别为
,
中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:
平面
;
(Ⅲ)试问在线段
上是否存在点
,使得过三点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行?若存在,指出点
的位置并证明;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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