如图,在三棱锥中,平面平面,,.设,分别为,中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)试问在线段上是否存在点,使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平
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如图,在三棱锥中,平面平面,,.设,分别为,中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)试问在线段上是否存在点,使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,平面
平面
,
,
.设
,
分别为
,
中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:
平面
;
(Ⅲ)试问在线段
上是否存在点
,使得过三点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行?若存在,指出点
的位置并证明;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)存在,点
是线段
中点。
解析
试题分析:(Ⅰ)由中位线直接可得
∥
,由线面平行的判定定理可直接证得
∥平面
。(Ⅱ)根据线面垂直的判定定理需证
和面
内的两条相交直线都垂直。已知条件中已有
,又因为已知平面
平面
,
,由面面垂直的性质定理可得
面
,有线面垂直可得线线垂直。问题即可得证。(Ⅲ)要使得过三点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行,只需证面DEF与面PBC平行即可。根据面面平行的定理,需证面DEF内的两条相交线都和面PBC平行。第一问中已征得
∥平面
,根据第一问的思路,F别为AB的中点,就可同(Ⅰ)证出PF与面PBC平行。
试题解析:证明:
(Ⅰ)因为点
是
中点,点
为
的中点,
所以
∥
.
又因为
面
,
面
,
所以
∥平面
. 4分
(Ⅱ)因为平面
面
, 平面
平面
=
,又
平面
,
,所以
面
.
所以
.
又因为
,且
,
所以
面
. 9分
(Ⅲ)当点
是线段
中点时,过点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行.
取
中点
,连
,连
.
由(Ⅰ)可知
∥平面
.
因为点
是
中点,点
为
的中点,
所以
∥
.
又因为
平面
,
平面
,
所以
∥平面
.
又因为
,
所以平面
∥平面
,
所以平面
内的任一条直线都与平面
平行.
故当点
是线段
中点时,过点
,
,
所在平面内的任一条直线都与平面
平行. 14分
举一反三
如图,在三棱柱
中,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
;
(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=3.
(I)求证:DA⊥平面ABEF;
(Ⅱ)求证:MN∥平面CDFE;
(Ⅲ)在线段FE上是否存在一点P,使得AP⊥MN? 若存在,求出FP的长;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,正方体
的棱长为
,动点P在对角线
上,过点P作垂直于
的平面
,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设
x,则当
时,函数
的值域为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图1,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图2所示),连结
、
,其中
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)在线段
上是否存在点
使得
平面
?若存在,求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图1,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图2所示),连结
、
、
,其中
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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