试题分析:(1)先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直,由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直;(2)作出二面角的平面角,证明符合二面角的定义,再在三角形中求二面角的平面角,从而求出所求的二面角. 试题解析:(1)如图,连接,
由知,点为的中点, 又∵为圆的直径, ∴, 由知,, ∴为等边三角形,从而. ∵点在圆所在平面上的正投影为点, ∴平面,又平面, ∴, 由得,平面, 又平面, ∴. (2)方法1:(综合法)如图,过点作,垂足为,连接,
由(1)知平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, ∴为二面角的平面角. 由(Ⅰ)可知,, ∴,则, ∴在中,, ∴,即二面角的余弦值为. 方法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,由,得,,, ∴,,,, ∴,,, 由平面,知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为,则 ,即,令,则,, ∴, 设二面角的平面角的大小为, 则, ∴二面角的余弦值为. |