试题分析:(Ⅰ)要证//平面,只需在平面找一条直线与平行即可,证明线线平行,可利用三角形的中位线平行,也可利用平行四边形的对边平行,本题为的中点,可考虑利用三角形的中位线平行,连接,设与相交于点,连接,利用三角形中位线性质,证得//,从而证明//平面;(Ⅱ)求二面角B—AC—M的余弦值,可找二面角的平面角,取的中点,连接,作,垂足为,连接,证明为二面角的平面角,即可求得二面角的余弦值;也可利用空间坐标来求,以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,由于平面,故平面的一个法向量为,设出平面的法向量,通过,,求出平面的法向量,从而得二面角B—AC—M的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)证明:连接,设与相交于点,连接, ∵四边形是平行四边形,∴点为的中点. ∵为的中点,∴为的中位线, ∴//, 3分 ∵, ∴//. 6分 (Ⅱ)解法一:∵平面,//,则平面,故, 又且, ∴平面,取的中点,连接,则//,且.∴. 作,垂足为,连接,由于,且, ∴,∴. ∴为二面角的平面角. 9分 由∽,得,得, 在中,. ∴二面角的余弦值为. 12分 (Ⅱ)解法二:∵平面,,则平面,故, 又且,∴. 9分 以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,,,,,∴,,求得平面的法向量为,又平面的一个法向量为, ∴. ∴二面角B—AC—M的余弦值为. 12分 |