如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=900,PA=PB,PC=PD.(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直,并简述理由;(I

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=900,PA=PB,PC=PD.(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直,并简述理由;(I

题型:不详难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=900,PA=PB,PC=PD.

(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直,并简述理由;
(II)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(III)如果CD=AD+BC,二面角P-CB-A等于600,求二面角P-CD-A的大小.
答案
(I)不垂直.理由见解析;(II)详见解析;(III)二面角P-CD-A的大小为600.
解析

试题分析:(I)首先结合条件凭借自己的空间想象力判断.在本题中,PC=PD,则∠PCD=∠PDC不为直角,由此可知,直线CD与平面PAD不可能垂直.(II)证面面垂直,首先考虑证哪条线垂直哪个面.结合题设PA=PB取AB的中点E ,则PE⊥AB.再结合结论可知必有PE⊥平面ABCD,所以我们就考虑证明PE⊥平面ABCD.
(III)取AB、CD的中点有E、F,连结PE,PF,EF,则易得∠PFE即为二面角P-CD-A的平面角,且三角形PEF是一个直角三角形. 利用题设找到边与边的关系,在三角形PEF中即可求得∠PFE的大小.
试题解析:(I)不垂直
假设直线CD与平面PAD垂直,则CD⊥PD。
而在△PCD中,由PC=PD得∠PCD=∠PDC
∴∠PDC<900,这与CD⊥PD矛盾,
因此, 直线CD与平面PAD不垂直。
(II)取AB、CD的中点有E、F,连结PE,PF,EF,
由PA=PB,PC="PD," 得  PE⊥AB,PF⊥CD.
∵EF为直角梯形的中位线  ∴EF⊥CD、
又PFEF=F    ∴CD⊥平面PEF
由PE平面PEF   ∴CD⊥PE
又梯形的两腰AB与CD必相交,∴PE⊥平面ABCD
又PE平面PAB    ∴平面PAB⊥平面ABCD
(III)∠PFE即为二面角P-CD-A的平面角
作EG⊥BC于G,连PG。由三垂线定理得BC⊥PG,则∠PGE为二面角P-BC-A的平面角即∠PGE=600
由已知得EF=(AD+BC)=,EG=CF=CD,∴EF=EG
   ∴∠PFE=∠PGE=600
即二面角P-CD-A的大小为600
举一反三
如图是一个斜三棱柱,已知、平面平面,又分别是的中点.

(1)求证:∥平面; (2)求二面角的大小.
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如图,四棱柱的底面是平行四边形,且底面°,点中点,点中点.

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)设二面角的大小为,直线与平面所成的角为,求的值.
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是两个不重合的平面,给出下列命题:
①若外一条直线内一条直线平行,则
②若内两条相交直线分别平行于内的两条直线 ,则
③设,若内有一条直线垂直于,则
④若直线与平面内的无数条直线垂直,则.
上面的命题中,真命题的序号是 (    )
A.①③B.②④C.①②D.③④

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如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,且,点中点.

(1)求证:平面⊥平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为
求三棱锥的体积.
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已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n.则(   )
A.若m⊥n,则α⊥βB.若α⊥β,则m⊥n
C.若m∥n,则α∥βD.若α∥β,则m∥n

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