在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面⊥平面,,,,是的中点.(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不
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在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面⊥平面,,,,是的中点.(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不
题型:不详
难度:
来源:
在如图所示的几何体中,四边形
是菱形,
是矩形,平面
⊥平面
,
,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:
//平面
;
(Ⅱ)在线段
上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长
;若不存在,请说明理由.
答案
(1)详见解析;(2)存在,
解析
试题分析:(1)要 证明
//平面
,只需在平面
内找一条直线与
平行,连接
交
于点
,则
是
的中位线,所以
∥
,则
//平面
;(2)(方法一:)先假设满足条件的点
存在,由已知的垂直关系,找到二面角的平面角
,然后在
中计算
,并判断是否小于1;(方法二:)找三条两两垂直相交的直线,建立空间直角坐标系,设点
的坐标,并分别表示相关点的坐标,分别求两个 半平面的法向量
和
,再利用空间向量的夹角公式列式,确定点
的位置,并判断其是否在线段
上.
试题解析:(1)连接
,设
和交
于点
,连接
,因为
∥
∥
,
=
=
,所以四边形
是平行四边形,
是
中点,又因为
是
中点,所以
∥
,又
平面
,
平面
,所以
//平面
;
(2)假设在线段
上存在点
,使二面角
的大小为
.
(解法一)延长
交于点
,过点
作
于
,连接
,因为四边形
是矩形,平面
⊥平面
,所以
⊥平面
,又
面
,所以
,则
面
,
,则
就是二面角
的平面角,则
=
,
中,
,
,则
,所以
=
,又在
中,
,故在线段
上存在点
,使二面角
的大小为
,此时
的长为
.
(解法二)由于四边形
是菱形,
是
的中点,
,所以
是等边三角形,则
,有因为四边形
是矩形,平面
⊥平面
,所以
面
,如图建立空间直角坐标系
,
,
,设平面
的法向量为
,则
且
,得
,令
,所以
,又平面
的法向量
,
,
,解得
,
故在线段
上存在点
,使二面角
的大小为
,此时
的长为
.
举一反三
如图,已知在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
、
分别是
、
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)若
与平面
所成角为
,且
,求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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设
,
是两条不同直线,
,
是两个不同平面,则下列命题错误的是( )
A.若
,
,则
B.若
,
,则
C.若
,
,则
D.若
,
,则
题型:不详
难度:
|
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如图,在梯形
中,
,
,
,平面
平面
,四边形
是矩形,
,点
在线段EF上.
(1)求异面直线
与
所成的角;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
为菱形,
,
为
的中点.
(1)若
,求证:平面
平面
;
(2)点
在线段
上,
,若平面
平面
,且
,求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥
中,底面
为菱形,
,
为
的中点.
(1)若
,求证:平面
平面
;
(2)点
在线段
上,
,试确定
的值,使
平面
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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