如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(1) 证明:BD⊥平面PAC;(2) 若AD=2

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(1) 证明:BD⊥平面PAC;(2) 若AD=2

题型:不详难度:来源:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.

(1) 证明:BD⊥平面PAC;
(2) 若AD=2,当PC与平面ABCD所成角的正切值为时,求四棱锥P-ABCD的外接球表面积.
答案
(1)见解析;(2).
解析

试题分析:(1)先利用直线与平面垂直的性质定理,得到 和 ,因为 ,所以利用直线与平面垂直的判定定理可知, ;(2)先利用直线和平面垂直的性质定理得到,那么为正方形,得到边的值,然后根据已知的垂直关系,找到线面角,根据线面角的正切值求出,根据此四棱锥的性质可知,所求的外接球的直径即是线段,由已求得的量结合勾股定理求得的值,再由球的表面积公式:,求此四棱锥的外接球的表面积.
试题解析:(1)证明 ∵,∴.2分
同理由,可证得.                         4分
,∴.                                6分
(2)由(1)知,又, ∴
故矩形为正方形,∴.所以    8分
因为,所以与平面所成角为
因为与平面所成角的正切值为,即
所以,                         10分
,所以
所以四棱锥的外接球表面积为.12分
举一反三
如图,在四棱锥中,为平行四边形,且的中点,

(Ⅰ)求证://
(Ⅱ)求三棱锥的高.
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如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面

(Ⅰ)点是直线中点,证明平面
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=,O为AB的中点.

(Ⅰ)求证:EO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离.
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已知三条不重合的直线和两个不重合的平面α、β,下列命题中正确命题个数为(  )
①若


A.1B.2C.3D.4

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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.

(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
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