如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.(Ⅰ)点是直线中点,证明平面;(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.(Ⅰ)点是直线中点,证明平面;(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知直角梯形
所在的平面垂直于平面
,
,
,
.
(Ⅰ)点
是直线
中点,证明
平面
;
(Ⅱ)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
.
解析
试题分析:(Ⅰ)点
是直线
中点,证明
平面
;证明线面平行,主要是证明线线平行,证明线线平行的方法有两种,一种利用三角形的中位线,另一种是利用平行四边形对边平行,此题不符合利用三角形的中位线,可考虑构造平行四边形来证,取
的中点
连结
,证明
即可,故只需证明
且
即可,由作法可知
,
,为此取
的中点
,连结
,证明
即可;(Ⅱ)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值,处理方法有两种,一传统方法,二向量法,传统方法首先确定二面角,过
作
的平行线
,过
作
的垂线交
于
,连结
,注意到棱
垂直平面
,∴
是所求二面角的平面角,从而求得平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值,向量法,建立空间坐标系,以点
为原点,直线
为
轴,直线
为
轴,建立空间直角坐标系
,主要找两个平面的法向量,平面
的一个法向量为
.只需设平面
的法向量为
,由题意求出法向量为
即可.
试题解析:(Ⅰ)证明:
取
的中点
连结
,则
,
,取
的中点
,连结
,
∵
且
,∴△
是正三角形,∴
.
∴四边形
为矩形,∴
. 4分
又∵
,
∴
且
,四边形
是平行四边形.
∴
,而
平面
,
平面
,∴
平面
.6分
(Ⅱ)(法1)过
作
的平行线
,过
作
的垂线交
于
,连结
,
∵
,∴
,
是平面
与平面
所成二面角的棱. 8分
∵平面
平面
,
,∴
平面
,
又∵
平面
,
∴
平面
,∴
,
∴
是所求二面角的平面角. 10分
设
,则
,
,
∴
,
∴
. 12分
(法2)∵
,平面
平面
,
∴以点
为原点,直线
为
轴,直线
为
轴,建立空间直角坐标系
,则
轴在平面
内(如图).设
,由已知,得
,
,
.
∴
,
, 8分
设平面
的法向量为
,
则
且
,
∴
∴
解之得
取
,得平面
的一个法向量为
. 10分
又∵平面
的一个法向量为
. 10分
. 12分
举一反三
已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=
,O为AB的中点.
(Ⅰ)求证:EO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知三条不重合的直线
和两个不重合的平面α、β,下列命题中正确命题个数为( )
①若
②
③
④
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱A
1
A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A
1
C
1
的中点.
(Ⅰ)证明EF//平面A
1
CD;
(Ⅱ)证明平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
;
(Ⅲ)求直线BC与平面A
1
CD所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
,
,
,平面
⊥平面
,
是线段
上一点,
,
.
(Ⅰ)证明:
⊥平面
;
(Ⅱ)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD^底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF^PB交PB于点F,
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB^平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
题型:不详
难度:
|
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