直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四面体的体积．

题型：不详难度：来源：

直三棱柱中，，，、分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积．

答案

(Ⅰ)先证AB⊥平面BB₁C₁C.又Ｎ、Ｆ分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点，证出NF⊥平面BB₁C₁C. NF⊥FC .
证得FC⊥平面NFB.  
(Ⅱ)．

解析

试题分析：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,
B₁B⊥AB, BC⊥AB,又B₁BBC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C.
又Ｎ、Ｆ分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点
∴AB∥A₁B₁∥NF.
∴NF⊥平面BB₁C₁C.
因为FC平面BB₁C₁C.所以NF⊥FC .
取BC中点G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NFFB=F，
∴FC⊥平面NFB.           7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,

．            14分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，若利用向量则可简化证明过程。（2）体积计算中，运用了“等积法”。