如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4, G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(Ⅰ)求证:AG

如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4, G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(Ⅰ)求证:AG

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4,
 
G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(Ⅰ)求证:AG⊥平面PCD;
(Ⅱ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅲ)求点G到平面PEC的距离.
答案
(Ⅰ)证明:见解析;(Ⅱ)证明:见解析;(Ⅲ)G点到平面PEC的距离为
解析
本试题主要考查了线面的位置关系的运用,点到面的距离的求解。
线面平行的判定和线面垂直的判定的综合运用。
(1)由于CD⊥AD,CD⊥PA    ∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG又PD⊥AG,从而由判定定理得到结论。
(2)作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD,故EF∥AG可知线面平行。
(3)由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由(Ⅱ)知A、E、F、G四点共面,又AECD 
AE∥平面PCD
∴ AE∥GF,∴ 四边形AEFG为平行四边形,∴ AE=GF,然后利用转换顶点得到体积的求解。
解(Ⅰ)


证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA    
∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG
又PD⊥AG     
∴AG⊥平面PCD          …………4分
(Ⅱ)证明:作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD 
∴EF∥AG,又AG 面PEC,EF 面PEC,
∴AG∥平面PEC    ………………7分
(Ⅲ)由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由(Ⅱ)知A、E、F、G四点共面,又AECD 
AE∥平面PCD
AEGF,∴ 四边形AEFG为平行四边形,∴ AEGF     ……………8分



 
PAAB=4, GPD中点,FG   CDFG=2       ∴ AEFG=2                   ………………………9分
∴                ………………………10分
又EF⊥PC,EF=AG
        ………………………11分
,∴,即,∴
∴ G点到平面PEC的距离为.              ………………………12分网
举一反三
(本小题满分14分)

如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BEBCFCE的中点,求证:
(1) AE∥平面BDF
(2) 平面BDF⊥平面BCE
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分10分)
在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S
底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角.
(1) 若D为侧棱SA上一点,当为何值时,BDAC
(2) 求二面角SACB的余弦值大小.
题型:不详难度:| 查看答案
已知直线平面给出下列四个命题:
①若②若
③若④若
其中真命题是(   )
A.①②B.①③C.①④D.②④

题型:不详难度:| 查看答案
是两个不同的平面,是两条不同的直线,给出下列4个命题,其中正确命题是(    )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若在平面内的射影互相垂直,则

题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,面是正三角形,

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若异面直线所成角的余弦值为,求二面角的大小;
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.