如图所示的七面体是由三棱台ABC – A1B1C1和四棱锥D- AA1C1C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1

题型：不详难度：来源：

如图所示的七面体是由三棱台ABC – A₁B₁C₁和四棱锥D- AA₁C₁C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．

（I）求证：平面AA₁C₁C₁⊥平面BB₁D；
（Ⅱ）求二面角A –A₁D—C₁的余弦值．

答案

（Ⅰ）略（Ⅱ）余弦值为

解析

本试题主要是考查了空间几何体中面面垂直的关系的证明和二面角的求解的综合运用。
（1）建立合理的空间直角坐标系，然后要证明面面垂直，先证明两个平面的法向量是不是垂直即可。
（2）对于二面角的求解，结合图形的特点，表示出点的坐标，进而得到向量的坐标，求解平面的法向量，然后借助于向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小