第一问是涉及到线面平行的判定,以及四边形的形状问题的证明。 第二问关于二面角的求解,可以利用射影面积公式法,也可以利用法向量的夹角公式来解,通过合理的建立直角坐标系,表示向量,然后求解斜率的夹角,利用互为补角的关系求解得到二面角的大小。 解:(2)依题意,在Rt△ABB’中,, 在Rt△ADD’中,, 所以.………………8分
连结AC,AC’,如图5-2,在Rt△ACC’中,. 所以,故.……10分 (法1)延长CB,C’B’相交于点F, 则,所以. 连结AF,则AF是平面ABCD与平面AB’C’D 的交线. 在平面AB’C’D 内作C’G,垂足为G, 连结. 因为平面AB’C’D,平面AB’C’D,所以AF. 从而平面CC’G,. 所以是平面ABCD与平面AB’C’D所成的一个锐二面角. …………12分 在Rt△AC’F中,, 在Rt△CC’G中,. 所以, 即平面ABCD与平面AB"C"D’所成的锐二面角的余弦值为.………14分
(法2)以c’为原点,c’a为x轴,c’b’为y轴,c’c为z轴, 建立空间直角坐标系(如图5-3), 则平面AB’C’D的一个法向量. 设平面ABCD的一个法向量为, 因为
取z=1,则y=,x=,所以平面ABCD的一个法向量为. (注:法向量不唯一,可以是与共线的任一非零向量)……………12分 . 所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为.…………………14分 (法3)由题意,正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形AB’C’D, 所以平面ABCD与平面AB’C’D,所成的锐二面角的余弦值. …………12分 所以, 所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为.…………………14分 |