如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别是AB、PC的中点.求证:MN⊥平面PCD.
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如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别是AB、PC的中点.求证:MN⊥平面PCD.
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别是AB、PC的中点.求证:MN⊥平面PCD.
答案
证明略
解析
如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,
∵N、E分别为PC,PD的中点,
∴NE为△PCD的中位线,
∴NE∥CD且NE=
CD.
又M为AB的中点,
∴AM∥CD且AM=
CD,
∴AM∥NE且AM=NE,
∴四边形AENM为平行四边形,∴AE∥MN.
又△PAD为等腰三角形,∴AE⊥PD,∴MN⊥PD.
连接PM、MC,设AD=a,AB=2b,
∴PM
2
=a
2
+b
2
,CM
2
=a
2
+b
2
,
∴CM=PM,∴MN⊥PC.
∵PC∩PD=P,∴MN⊥平面PCD.△ABC为正三角形,
D、E分别是BC、CA的中点.
举一反三
在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E是CD的中点,连接AE并延长与BC的延长线交于点F,连接BE并延长交AD的延长线于点G,连接FG.求证:直线FG
平面ABCD且直线FG∥直线A
1
B
1
.
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是BB
1
、CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A
1
FD
1
;
(2)在AE上求一点M,使得A
1
M⊥平面ADE.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=1,BB
1
=2,
E是棱CC
1
上的点,且CE=
CC
1
.
(1)求三棱锥C—BED的体积;
(2)求证:A
1
C⊥平面BDE.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是C
1
C、B
1
C
1
的中点.
求证:MN∥平面A
1
BD.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
题型:不详
难度:
|
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