在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面AB

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在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG

平面ABCD且直线FG∥直线A₁B₁.

答案

证明略

解析

由已知得E是CD的中点，在正方体中，
由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，
所以AE

平面ABCD.
又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD.
同理G∈平面ABCD，
所以FG

平面ABCD.
因为EC

AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BC

AD，所以CF

DG，
所以四边形CFGD是平行四边形，
所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A₁B₁，
所以直线FG∥直线A₁B₁.

举一反三

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.
（1）求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE.

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如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，

E是棱CC₁上的点，且CE=

CC₁.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE.

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如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点.
求证：MN∥平面A₁BD.

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如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.

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如图所示，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，M、N分别是BC和A₁B₁的中点.
求证：MN∥平面AA₁C₁.

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