如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD

题型：不详难度：来源：

如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.

答案

证明略

解析

 (1)取BC的中点O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).
∴=(-2,-1,0), ="(1,-2,-" ).
∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
∴⊥,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,则M（,-1,）.
∵=（,0, ）, =(1,0,-),
∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,
∴⊥,即DM⊥PA.
又·=×1+0×0+×（-）=0，
∴⊥，即DM⊥PB.
又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，
∵DM平面PAD.
∴平面PAD⊥平面PAB.