如图所示,平面∥平面,点A∈,C∈,点B∈,D∈,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥;(2)若E,F分别是AB,CD的
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如图所示,平面∥平面,点A∈,C∈,点B∈,D∈,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥;(2)若E,F分别是AB,CD的
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,平面
∥平面
,点A∈
,C∈
,点B∈
,D∈
,点E,F分别在
线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.
(1)求证:EF∥
;
(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,
求EF的长.
答案
(1)证明略(2)EF=
或EF=
解析
(1) ①当AB,CD在同一平面内时,
由
∥
,平面
∩平面ABDC=AC,
平面
∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD, 2分
∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,
又EF
,BD
,∴EF∥
. 4分
②当AB与CD异面时,
设平面ACD∩
=DH,且DH=AC.
∵
∥
,
∩平面ACDH=AC,
∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形, 6分
在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,
又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH,
又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面
.
∵EF
平面EFG,∴EF∥
.综上,EF∥
. 8分
(2)解 如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴ME∥BD,MF∥AC,
且ME=
BD=3,MF=
AC=2,
∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角),
∴∠EMF=60°或120°, 12分
∴在△EFM中由余弦定理得,
EF=
=
=
,
即EF=
或EF=
. 16分
举一反三
如图所示,在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,O是B
1
D
1
的中点,
求证:B
1
C∥平面ODC
1
.
题型:不详
难度:
|
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下面四个命题:
①分别在两个平面内的两直线平行;
②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
其中正确的命题是( )
A.①②
B.②④
C.①③
D.②③
题型:不详
难度:
|
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知
a
,
b
为不垂直的异面直线,
α
是一个平面,则
a
、
b
在
α
上的射影有可能是______________.
①两条平行直线;
②两条互相垂直的直线;
③同一条直线;
④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确的编号是_________.(写出所有正确结论的编号)
题型:不详
难度:
|
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于直线
m
、
n
与平面
α
、
β
,有下列四个命题:
①若
m
∥
α
,
n
∥
β
且
α
∥
β
,则
m
∥
n
;
②若
m
⊥
α
,
n
⊥
β
且
α
⊥
β
,则
m
⊥
n
;
③若
m
⊥
α
,
n
∥
β
且
α
∥
β
,则
m
⊥
n
;
④若
m
∥
α
,
n
⊥
β
且
α
⊥
β
,则
m
∥
n
.
其中真命题的序号是( )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
题型:不详
难度:
|
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已知直线
a
、
b
、
c
与平面
α
.给出:
①
a
⊥
c
,
b
⊥
c
a
∥
b
;②
a
∥
c
,
b
∥
c
a
∥
b
;③
a
∥
α
,
b
∥
α
a
∥
b
;④
a
⊥
α
,
b
⊥
α
a
∥
b
.其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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