如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD⊥底面ABCD ,底面ABCD为正方形,PD=DC,E 、F 分别是AB、PB的中点. (1)求证:EF⊥CD ;
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如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD⊥底面ABCD ,底面ABCD为正方形,PD=DC,E 、F 分别是AB、PB的中点. (1)求证:EF⊥CD ;
题型:同步题
难度:
来源:
如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD⊥底面ABCD ,底面ABCD为正方形,PD=DC,E 、F 分别是AB、PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD ;
(2)在平面PAD 内求一点G ,使GF⊥平面PCB ,并证明你的结论.
答案
解:以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图), 设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、G(0,a,0),
、P(0,0,a).
(1)证明:
·(0,a,0)=0,
∴EF⊥DC
(2)设G(x,0,z),则G∈平面PAD.
,
由题要使GF⊥平面PCB,
只需
∴
=
·(0,-a,a)=
∴z=0.
∴点G的坐标为
,即点G为AD的中点.
举一反三
=
[ ]
A.1
B.﹣1
C.﹣5
D.5
题型:陕西省月考题
难度:
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已知A(﹣4,6,﹣1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是
[ ]
A.(0,1,6)
B.(﹣1,2,﹣1)
C.(﹣15,4,36)
D.(15,4,﹣36)
题型:陕西省月考题
难度:
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如图所示,已知空间四边形ABCD,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点,且
求证:四边形EFGH是梯形.
题型:同步题
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如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM=
,求证:MN∥平面CDE.
题型:同步题
难度:
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如图所示, 四棱锥
P
-
ABCD
的底面是边长为1的正方形,
PA
CD
,
PA
= 1,
PD
=
,
E
为
PD
上一点,
PE
= 2
ED
.
(Ⅰ)求证:
PA
平面
ABCD
;
(Ⅱ)求二面角
D-AC
-
E
的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱
PC
上是否存在一点
F
,使得
BF
// 平面
AEC
?若存在,指出
F
点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
题型:湖北省模拟题
难度:
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